Home / MATEMATIKA / Soal Dan Pembahasan OSK Matematika Tahun 2013

Soal Dan Pembahasan OSK Matematika Tahun 2013

Posted by Belajar Matematika Minggu, 09 Juni 2013 0 komentar

OSK Matematika Tahun 2013 telah selesai dilaksanakan tanggal 3 April kemarin. Tahun ini sebenarnya saya tidak terlalu mengikuti pelaksanaan OSK SMA. Namun demikian ada beberapa kawan yang meminta saya untuk memposting pembahasan OSK Matematika SMA 2013. Yah, okelah saya coba yang saya bisa.
Soal OSK SMA tahun ini masih berformat sama yaitu 20 soal isian singkat. Dan untuk pembahasan di blog ini akan saya bagi menjadi dua bagian. Yang setiap bagian terdiri dari 10 soal. Bagian pertama yaitu sepuluh nomor pertama, menurut saya lebih didominasi oleh teori bilangan dan kombinatorik. Untuk selengkapnya silakan simak pembahasan di bawah ini :
1. Misalkan

a dan

b adalah bilangan asli dengan

a>b. Jika

94+22013−−−−√−−−−−−−−−−√=a√+b√, maka nilai

a−b adalah ...

Untuk

a,b≥0 berlaku

(a \sqrt + b \sqrt) 2 = a + b + 2 a b - - \sqrt \Leftrightarrow a \sqrt + b \sqrt = (a + b) + 2 a b - - \sqrt - - - - - - - - - - - - \sqrt

Padahal

94+22013−−−−√=(61+33)+261×33−−−−−−√. Oleh karena itu,

94+22013−−−−√−−−−−−−−−−√=61−−√+33−−√. Sehingga

a−b=61−33=28.

2. Diberikan segitiga

ABC dengan luas 10. Titik

D,E dan

F berturut - turut terletak pada sisi - sisi

AB,BC dan

CA dengan

AD=2,DB=3. Jika segitiga

ABE dan segiempat

DBFE mempunyai luas yang sama, maka luasnya sama dengan ...

Perhatikan sketsa berikut ini!

Karena

Luas △ABE=Luas DBFE berakibat

Luas △ADE=Luas △DEF. Padahal diketahui pula bahwa

DE adalah sisi persekutuan antara

△ADE dan

△DEF sehingga jarak titik

A ke

DE sama dengan jarak titik

F ke

DE. Dengan kata lain,

AF sejajar

DE sehingga

C E E B = A D D B = 2 3

Oleh karena itu,

Luas △ABE=35×10=6.

3. Misalkan

p dan

q bilangan prima. Jika diketahui persamaan

x2014−px2013+q=0 mempunyai akar - akar bilangan bulat, maka nilai

p+q adalah ...

Misalkan salah satu akar bulat dari persamaan

x2014−px2013+q=0 adalah

t. Maka diperoleh

t2014−pt2013+q=0⇔q=t2013(p−t). Perhatikan juga bahwa

−1 dan

0 bukan merupakan akar - akar persamaan

x2014−px2013+q=0. Sehingga dengan mengingat bahwa

q adalah bilangan prima diperoleh

t=1. Oleh karena itu,

q=p−1⇔p−q=1. Dari keterangan ini dapat disimpulkan bahwa salah satu dari

p,q harus genap. Dan karena bilangan prima genap hanya

2 maka kita peroleh

q=2 dan

p=3. Jadi,

p+q=5.

4. Jika fungsi

f didefinisikan oleh

f(x)=kx2x+3,x≠−32,k konstanta memenuhi

f(f(x))=x untuk setiap bilangan real

x, kecuali

x=−32 maka nilai

k adalah ...

Untuk

x=1 diperoleh

f (f (1)) = 1 \Leftrightarrow f (k 5) = 1 \Leftrightarrow k 2 2 k + 15 = 1 \Leftrightarrow k 2 - 2 k - 15 = 0 \Leftrightarrow (k - 5) (k + 3) = 0

Mudah dicek bahwa

k=−3 memenuhi kondisi

f(f(x))=x.

5. Koefisien

x2013 pada ekspansi

(1 + x) 4026 + x (1 + x) 4025 + x 2 (1 + x) 4024 + \dots + x 2013 (1 + x) 2013

adalah ...

Koefisien x2013 dari (1+x)4026 adalah C40262013.
Koefisien x2013 dari x(1+x)4025 adalah C40252012.
Koefisien x2013 dari x2(1+x)4024 adalah C40242011.
⋯
⋯
⋯
Koefisien x2013 dari x2012(1+x)2014 adalah C20141.
Koefisien x2013 dari x2013(1+x)2013 adalah C20130.

Dengan menggunakan identitas,

C m 0 + C m + 1 1 + C m + 2 2 + \dots + C m + k k = C m + k + 1 k

diperoleh koefisien

x2013 pada ekspansi

(1 + x) 4026 + x (1 + x) 4025 + x 2 (1 + x) 4024 + \dots + x 2013 (1 + x) 2013

yaitu,

C 20130 + C 20141 + \dots + C 40252012 + C 40262013 = C 40272013

6. Jika

2x−2y=1 dan

y−x=2, maka

(x+y)2=⋯

Lakukan sedikit manipulasi aljabar sebagai berikut,

2 x - 2 y = 1 \Leftrightarrow 2 ( y - x ) x y = 1 \Leftrightarrow 4 x y = 1 \Leftrightarrow x y = 4

selanjutnya diperoleh,

(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y = x 2 + y 2 - 2 x y + 4 x y = (y - x) 2 + 4 x y = 4 + 16 = 20

7. Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul angka 6 adalah ...

Tanpa mengurangi keumuman misalkan tos pertama muncul angka 6. Maka pada tos kedua sampai dengan tos keenam hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22. Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu

Yang muncul angka : 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!4!=5 cara.
Yang muncul angka : 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!3!=20 cara.
Yang muncul angka : 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!2!×3!=10 cara.

Sehingga total ada

5+20+10=35 cara jika pada tos pertama muncul angka

6. Karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka

6 berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu

6×35=210 cara.

8. Misalkan

P adalah titik interior dalam daerah segitiga

ABC sehingga besar

∠PAB=10∘,∠PBA=20∘,∠PCA=30∘,∠PAC=40∘. Besar

∠ABC=⋯

Perpanjang

CP,AP,BP sehingga memotong

AB,BC,CA berturut - turut di titik

D,E,F seperti gambar berikut :

Mudah diperoleh bahwa

∠APB=150∘,∠APC=110∘ sehingga

∠BPC=100∘. Misalkan

∠PBC=x maka

∠PCB=80−x.
Berdasarkan dalil sinus pada

△ADP dan

△BDP diperoleh

A D sin 70 \circ = D P sin 10 \circ dan B D sin 50 \circ = D P sin 20 \circ

sehingga

A D B D = sin 70 \circ \cdot sin 20 \circ sin 80 \circ \cdot sin 10 \circ

Dengan cara serupa diperoleh pula

B E E C C F F A = sin 30 \circ \cdot sin ( 80 - x ) \circ sin x \cdot sin 70 \circ = sin 80 \circ \cdot sin 40 \circ sin 30 \circ \cdot sin 30 \circ

Padahal berdasarkan teorema Ceva diperoleh

A D D B \cdot B E E C \cdot C F F A = 1

Substitusikan ketiga persamaan di atas sehingga didapat

sin 20 \circ \cdot sin ( 80 - x ) \circ \cdot sin 40 \circ sin 10 \circ \cdot sin 30 \circ \cdot sin x = 1

yang ekuivalen dengan

sin 20 \circ \cdot sin (80 - x) \circ \cdot sin 40 \circ - 4 \cdot sin 20 \circ \cdot sin (80 - x) \circ \cdot sin 40 \circ 2 (cos 60 \circ - cos 20 \circ) sin (80 - x) \circ sin (80 - x) \circ - 2 cos 20 \circ \cdot sin (80 - x) \circ sin (80 - x) \circ - (sin (100 - x) + sin (60 - x)) - sin (60 - x) = sin 10 \circ \cdot sin 30 \circ \cdot sin x = - 2 \cdot sin 10 \circ \cdot sin x = cos (x + 10) - cos (x - 10) = cos (x + 10) - cos (x - 10) = sin (80 - x) \circ - sin (100 - x) = 0

Karena

x terletak pada kuadran pertama maka

x=60∘. Jadi,

∠ABC=20∘+x=80∘.

Alternatif Penyelesaian :

Misalkan

D pusat lingkaran luar

△ACP karena

∠ADP=2∠ACP=60∘ maka

△ADP adalah segitiga sama sisi.

∠CAD=∠DAP−∠CAP=60∘−40∘=20∘. Karena

∠APB=150∘ maka

∠APE=30∘, sehingga

∠EPD=30∘. Oleh karena itu,

∠DPB=150∘=∠APB. Hal ini berakibat

△APB kongruen

△BPD. Sehingga

∠BDP=∠BAP=10∘. Selanjutnya kita diperoleh

∠ADF=∠ADP+∠BDP=60∘+10∘=70∘. Oleh karena itu,

∠AFD=90∘. Dengan kata lain,

BD⊥AC dan karena

△ADC adalah segitiga sama kaki dengan

AD=CD maka

AF=FC. Sehingga dapat disimpulkan

△ABC adalah segitiga sama kaki dengan

AB=BC. Jadi,

∠BAC=∠ACB=50∘ yang berarti

∠ABC=80∘.

9. Sepuluh kartu ditulis dengan angka satu sampai sepuluh (setiap kartu hanya terdapat satu angka dan tidak ada dua kartu yang memiliki angka yang sama). Kartu - kartu tersebut dimasukkan kedalam kotak dan diambil satu secara acak. Kemudian sebuah dadu dilempar. Probabilitas dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah ...

Misalkan

a angka dari dadu dan

b angka dari kartu. Pasangan

(a,b) yang menghasilkan

ab bilangan prima yaitu

(1,1),(1,4),(1,9),(2,2),(2,8),(3,3),(4,1),(4,4),(4,9),(5,5),(6,6) yang ada 11 kemungkinan. Sedangkan kemungkinan ruang sampel adalah

60. Oleh karena itu, peluang dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah

1160.

10. Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah ...

Pembagian keenam siswa pada tiga meja bundar tersebut adalah sebagai berikut :

Siswa diatur dalam kelompok 4,1,1. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $C 6 4 \times C 2 1 \times ( 4 - 1 ) ! 2 ! = 90$
Siswa diatur dalam kelompok 3,2,1. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $C 63 \times C 32 \times (3 - 1)! \times (2 - 1)! = 120$
Siswa diatur dalam kelompok 2,2,2. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada $C 6 2 \times C 4 2 3 ! = 15$

Oleh karena itu, total cara mengatur tempat duduk keenam siswa tersebut adalah

90+120+15=225 cara.

Bagian pertama pembahasan OSK Matematika SMA 2013 selesai. Tunggu postingan selanjutnya untuk bagian kedua. Jangan lupa baca juga pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013. Dan semoga yang ikut OSK tahun ini bisa lolos ke tahap selanjutnya alias OSP. Good luck!

TERIMA KASIH ATAS KUNJUNGAN SAUDARA

Judul: Soal Dan Pembahasan OSK Matematika Tahun 2013
Ditulis oleh Belajar Matematika
Rating Blog 5 dari 5

Semoga artikel ini bermanfaat bagi saudara. Jika ingin mengutip, baik itu sebagian atau keseluruhan dari isi artikel ini harap menyertakan link dofollow ke http://doyan-matematika.blogspot.com/2013/06/soal-dan-pembahasan-osk-matematika_836.html. Terima kasih sudah singgah membaca artikel ini.