Doa Akhir dan Awal Tahun Hijriyah

Posted by Belajar Matematika Minggu, 03 November 2013 0 komentar
Beberapa hari lagi kita akan memasuki tahun baru Islam, yaitu tahun 1435 Hijriyah. Meskipun banyak dari sebagian kita umat Islam yang memandang ‘biasa-biasa saja’ tahun baru Islam ini namun sesungguhnya saat pergantian tahun baru Islamlah saat yang paling tepat untuk memulai sebuah resolusi baru.
‘Resolusi baru’, seperti itulah ungkapan yang banyak diucapkan oleh sebagian saudara-saudara kita saat mereka merayakan pergantian tahun baru Masehi. Namun sebenarnya momen yang tepat untuk memulai resolusi baru adalah ketika pergantian tahun baru Islam. Mengapa?
Untuk menjawab pertanyaan di atas kita akan melihat sekilas jauh ke belakang tentang asal muasal dimulainya perhitungan tahun/kalendar Islam (hijriyah). Ketika itu khalifah Umar bin Khattab ra. setelah berunding dengan beberapa penasihatnya akhirnya memutuskan untuk menggunakan tahun dimana Rasulullah Saw. berhijrah dari Mekah ke Madinah sebagai awal permulaan perhitungan kalendar Islam. Momentum hijrah Rasulullah Saw. dianggap mewakili ‘era baru’, karena bukan halnya saat itu Rasulullah berhasil meloloskan diri dari kota Mekkah yang sudah tidak kondusif lagi bagi perkembangan dakwah beliau namun juga keputusannya untuk berhijrah ke Madinah membawa pelita terang bagi kebangkitan Islam sehingga beliau berhasil membangun pondasi mental dan spiritual bagi umat Islam yang terasa sampai sekarang ini.
Para shalihin mengajarkan kita untuk berdoa ketika menjelang pergantian tahun. Dan dibawah ini adalah doa akhir tahun dan awal tahun yang lafadznya cukup terkenal karena banyak terdapat di buku-buku doa.
Doa Akhir Tahun
Bacalah doa ini tiga kali saat menjelang akhir tahun baru Islam, bisa dilakukan sesudah ashar atau sebelum maghrib pada tanggal 29 atau 30 Dzulhijah. Dengan doa ini kita memohon ketika kita akan mengakhiri perjalanan tahun yang akan ditinggalkan ini akan mendapatkan ampunan dari Allah Swt. atas perbuatan-perbuatan yang dilarang oleh-Nya, dan apabila dalam tahun yang akan ditinggalkannya itu ada perbuatan-perbuatan yang diridhai oleh Allah Swt yang kita kerjakan, maka mohonlah agar amal shaleh tersebut diterima oleh Allah Swt.
Doa Akhir Tahun
Bismillaahir-rahmaanir-rahiim
Wa shallallaahu ‘ala sayyidinaa Muhammadin wa ‘alaa aalihi wa shahbihii wa sallam.
Allaahumma maa ‘amiltu fi haadzihis-sanati mimmaa nahaitani ‘anhu falam atub minhu wa lam tardhahu wa lam tansahu wa halamta ‘alayya ba’da qudratika ‘alaa uquubati wa da’autani ilattaubati minhu ba’da jur’ati alaa ma’siyatika fa inni astaghfiruka fagfirlii wa maa ‘amiltu fiihaa mimma tardhaahu wa wa’adtani ‘alaihits-tsawaaba fas’alukallahumma yaa kariimu yaa dzal-jalaali wal ikram an tataqabbalahuu minni wa laa taqtha’ rajaai minka yaa karim, wa sallallaahu ‘alaa sayyidinaa Muhammadin Nabiyyil ummiyyi wa ‘alaa ‘aalihii wa sahbihii wa sallam
Artinya:
Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang.
Semoga Allah melimpahkan rahmat dan keselamatan kepada junjungan kami Nabi Muhammad SAW,beserta para keluarga dan sahabatnya. Ya Allah, segala yang telah ku kerjakan selama tahun ini dari apa yang menjadi larangan-Mu, sedang kami belum bertaubat, padahal Engkau tidak melupakannya dan Engkau bersabar (dengan kasih sayang-Mu), yang sesungguhnya Engkau berkuasa memberikan siksa untuk saya, dan Engkau telah mengajak saya untuk bertaubat sesudah melakukan maksiat. Karena itu ya Allah, saya mohon ampunan-Mu dan berilah ampunan kepada saya dengan kemurahan-Mu.
Segala apa yang telah saya kerjakan, selama tahun ini, berupa amal perbuatan yang Engkau ridhai dan Engkau janjikan akan membalasnya dengan pahala, saya mohon kepada-Mu, wahai Dzat Yang Maha Pemurah, wahai Dzat Yang Mempunyai Kebesaran dan Kemuliaan, semoga berkenan menerima amal kami dan semoga Engkau tidak memutuskan harapan kami kepada-Mu, wahai Dzat Yang Maha Pemurah.
Dan semoga Allah memberikan rahmat dan kesejahteraan atas penghulu kami Muhammad, Nabi yang Ummi dan ke atas keluarga dan sahabatnya.

Doa Awal Tahun
Bacalah doa ini tiga kali saat kita memasuki tanggal 1 Muharam. Bisa dilakukan selepas maghrib atau pun sesudahnya. Dengan doa ini kita sebagai Mu’min memohon kepada Allah Swt. agar dalam memasuki tahun baru ini kita dapat meningkatkan amal kebajikan dan ketaqwaan.
Doa Awal Tahun
Bismillaahir-rahmaanir-rahiim
Wa shallallaahu ‘alaa sayyidinaa Muhammadin wa ‘alaa ‘aalihi wa shahbihii wa sallam.
Allaahumma antal-abadiyyul-qadiimul-awwalu, wa ‘alaa fadhlikal-’azhimi wujuudikal-mu’awwali, wa haadza ‘aamun jadidun qad aqbala ilaina nas’alukal ‘ishmata fiihi minasy-syaithaani wa auliyaa’ihi wa junuudihi wal’auna ‘alaa haadzihin-nafsil-ammaarati bis-suu’i wal-isytighaala bimaa yuqarribuni
ilaika zulfa yaa dzal-jalaali wal-ikram yaa arhamar-raahimin, wa sallallaahu ‘alaa sayyidina Muhammadin nabiyyil ummiyyi wa ‘alaa ‘aalihi wa shahbihii wa sallam
Artinya:
Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang.
Semoga Allah senantiasa melimpahkan rahmat dan keselamatan kepada junjungan kami Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga dan sahabatnya.
Ya Allah Engkaulah Yang Abadi, Dahulu, lagi Awal. Dan hanya kepada anugerah-Mu yang Agung dan Kedermawanan-Mu tempat bergantung.
Dan ini tahun baru benar-benar telah datang. Kami memohon kepada-Mu perlindungan dalam tahun ini dari (godaan) setan, kekasih-kekasihnya dan bala tentaranya. Dan kami memohon pertolongan untuk mengalahkan hawa nafsu amarah yang mengajak pada kejahatan,agar kami sibuk melakukan amal yang dapat mendekatkan diri kami kepada-Mu wahai Dzat yang memiliki Keagungan dan Kemuliaan. Semoga Allah senantiasa melimpahkan rahmat dan keselamatan kepada junjungan kami Nabi Muhammad SAW, Nabi yang ummi dan ke atas para keluarga dan sahabatnya.

Baca Selengkapnya ....

MATRIK

Posted by Belajar Matematika 0 komentar
1. Matriks 
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks.
Secara umum matriks dapat ditulis dengan :


Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Beberapa Jenis Matriks 

(i) Matriks Nol (0)
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
(ii) Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iii) Matriks Bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iv) Matriks Diagonal

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.

(v) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. 


(vi) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.


3. Operasi Matriks

  1. Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. 


Sifat-sifat:


c. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
Jika diketahui Matriks Amxn dan Bnxk maka : 



4. Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan ATatau At


Sifat : (AT) T = A

5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom). 


Sifat-sifat determinan matriks:



6. Invers matriks
Bila  maka invers dari A adalah :

Syarat ad-bc  0

Contoh :

Jawab:

Sifat-sifat :

Baca Selengkapnya ....

Program Linier

Posted by Belajar Matematika 0 komentar
MATEMATIKA ilmu yang tidak perlu kita buat sulit, karena matematika memang tidak sulit. Sebelumnya telah banyak materi matematika yang telah saya berikan artikelnya seperti invers fungsi, rumus pythagoras, statistika data tunggal dan statistika data kelompok, fungsi eksponen dan logaritma, dan masih banyak lagi yang lainnya. Kali ini topik yang akan kita bahas yaitu tentang program linear.
program linear
Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear.
Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya merupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Untuk  lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan daerah  penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y 15
x 0
y 0
Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0 15
0 15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).
Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.
Daerah  penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).
Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Perhatikan contoh berikut :
Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing  Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!
Penyelesaian :
Permasalahan Pak Adi diatas  dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.
Tabel Model Matematika
Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi
x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0
Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y bernilai negatif.
Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.
f(x,y) = 500x + 600y
untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :
1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z = ax + by
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai
dimana langkah no 1 telah kita dapatkan karena disini rumus matematika menunjukan bagaimana cara membuat model matematika. Selanjutnya ikuti langkah berikutnya agar kita memperoleh daerah penyelesaiannya.
Sedikit materi Program linear ini diharapkan dapat memberikan manfaat untuk membantu sobat semua dalam lebih memahami matematika. Selamat belajar dan semoga sukses

Baca Selengkapnya ....

Trik Cepat Mengerjakan Soal Program Linier

Posted by Belajar Matematika 0 komentar

Program linier adalah suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari bentuk linier pada daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik fungsi linier. Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linier dalam kehidupan sehari hari adalah :
        1. Tentukan fungsi pembatas
        2. Tentukan fungsi obyektif
        3. Gambar daerah penyelesaian dari fungsi pembatas
        4. Tentukan titik pojok
        5. Uji titik pojok utuk menentukan nilai optimum fungsi obyektif.

Nha kalau semua urutan tersebut di tempuh kan cukup lama dan yang paling lama adalah nggambar daerah penyelesaian dari fungsi pembatas, kalau soalnya pilihan ganda kan rugi waktu jadinya.
berikut saya sajikan cara mengerjakan yang lebih cepat dengan tanpa menggambar langsung tahu titik pojok dan tinggal uji ke fungsi obyektif caranya adalah sebagai berikut :
langkah pertama jelas sama yaitu tentukan fungsi pembatas kemudian tentukan titik potong masing-masing fungsi pembatas dengan sumbu koordinat untuk dua fungsi pembatas misalnya pasti didapat 4 titik, misal titikpotong dengan sumbu x (x1,0) dan (x2,0), titikpotong dengan sumbu y (0,y1) dan (0,y2) setelah itu tentukan titikpotong dari kedua fungsi pembatas. 
  1. Untuk soal yang menentukan nilai maksimum fungsi obyektif, pilih titik potong sumbu koordinat yang kecil  dan titik potong kedua fungsi pembatas kemudian masukkan ke fungsi obyektif.
  2. Untuk soal yang menentukan nilai minimum fungsi obyektif, pilih titik potong sumbu koordinat yang besar dan titik potong kedua fungsi pembatas kemudian masukkan ke fungsi obyektif.
Contoh soal :

     Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2.  Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….
 Penyelesaian :

Persamaan garis fungsi pembatas :
x + 5y = 440..........tipot sb-x (440,0), tipot sb-y (0,88)
x + y = 200............tipot sb-x (200,0), tipot sb-y (0,200)
tipot kedua garis :
x + 5y = 440
x + y = 200   -
    4y = 240
      y = 60
x + y = 200
x + 60 = 200
       x = 140
jd tipot kedua garis (120,80)
tipot sb-x pilih yg lebig kecil yaitu (200,0) dan tipot sb-y pilih (0,88)
Uji titik pojok :
fungsi obyektif : f(x,y) = 1000x + 2000y
(200,0)..........f(200,0) = 1000 . 200 + 0 = 200.000
(0.88)...........f(0,88) = 0 + 2000 . 88 = 176.000
(140,60).......f(140,60) = 1000 . 140 + 2000 . 60 = 260.000
Jadi hasil maksimum tempat parkir adalah Rp. 260.000

Baca Selengkapnya ....

Peluang, Permutasi dan Kombinasi

Posted by Belajar Matematika 0 komentar
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri :)
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

Baca Selengkapnya ....