Soal Dan Pembahasan OSK Matematika Tahun 2013

Posted by Belajar Matematika Minggu, 09 Juni 2013 0 komentar
OSK Matematika Tahun 2013 telah selesai dilaksanakan tanggal 3 April kemarin. Tahun ini sebenarnya saya tidak terlalu mengikuti pelaksanaan OSK SMA. Namun demikian ada beberapa kawan yang meminta saya untuk memposting pembahasan OSK Matematika SMA 2013. Yah, okelah saya coba yang saya bisa.
Soal OSK SMA tahun ini masih berformat sama yaitu 20 soal isian singkat. Dan untuk pembahasan di blog ini akan saya bagi menjadi dua bagian. Yang setiap bagian terdiri dari 10 soal. Bagian pertama yaitu sepuluh nomor pertama, menurut saya lebih didominasi oleh teori bilangan dan kombinatorik. Untuk selengkapnya silakan simak pembahasan di bawah ini :
1. Misalkan a dan b adalah bilangan asli dengan a>b. Jika 94+22013=a+b, maka nilai ab adalah ...
Untuk a,b0 berlaku
(a+b)2=a+b+2aba+b=(a+b)+2ab
Padahal 94+22013=(61+33)+261×33. Oleh karena itu, 94+22013=61+33. Sehingga ab=6133=28.
2. Diberikan segitiga ABC dengan luas 10. Titik D,E dan F berturut - turut terletak pada sisi - sisi AB,BC dan CA dengan AD=2,DB=3. Jika segitiga ABE dan segiempat DBFE mempunyai luas yang sama, maka luasnya sama dengan ...
Perhatikan sketsa berikut ini!
osk matematika sma 2013 nomor 2
Karena Luas ABE=Luas DBFE berakibat Luas ADE=Luas DEF. Padahal diketahui pula bahwa DE adalah sisi persekutuan antara ADE dan DEF sehingga jarak titik A ke DE sama dengan jarak titik F ke DE. Dengan kata lain, AF sejajar DE sehingga
CEEB=ADDB=23
Oleh karena itu, Luas ABE=35×10=6.
3. Misalkan p dan q bilangan prima. Jika diketahui persamaan x2014px2013+q=0 mempunyai akar - akar bilangan bulat, maka nilai p+q adalah ...
Misalkan salah satu akar bulat dari persamaan x2014px2013+q=0 adalah t. Maka diperoleh t2014pt2013+q=0q=t2013(pt). Perhatikan juga bahwa 1 dan 0 bukan merupakan akar - akar persamaan x2014px2013+q=0. Sehingga dengan mengingat bahwa q adalah bilangan prima diperoleh t=1. Oleh karena itu, q=p1pq=1. Dari keterangan ini dapat disimpulkan bahwa salah satu dari p,q harus genap. Dan karena bilangan prima genap hanya 2 maka kita peroleh q=2 dan p=3. Jadi, p+q=5.
4. Jika fungsi f didefinisikan oleh f(x)=kx2x+3,x32,k konstanta memenuhi f(f(x))=x untuk setiap bilangan real x, kecuali x=32 maka nilai k adalah ...
Untuk x=1 diperoleh
f(f(1))=1f(k5)=1k22k+15=1k22k15=0(k5)(k+3)=0
Mudah dicek bahwa k=3 memenuhi kondisi f(f(x))=x.
5. Koefisien x2013 pada ekspansi
(1+x)4026+x(1+x)4025+x2(1+x)4024++x2013(1+x)2013
adalah ...
  • Koefisien x2013 dari (1+x)4026 adalah C40262013.
  • Koefisien x2013 dari x(1+x)4025 adalah C40252012.
  • Koefisien x2013 dari x2(1+x)4024 adalah C40242011.
  • Koefisien x2013 dari x2012(1+x)2014 adalah C20141.
  • Koefisien x2013 dari x2013(1+x)2013 adalah C20130.
Dengan menggunakan identitas,
Cm0+Cm+11+Cm+22++Cm+kk=Cm+k+1k
diperoleh koefisien x2013 pada ekspansi
(1+x)4026+x(1+x)4025+x2(1+x)4024++x2013(1+x)2013
yaitu,
C20130+C20141++C40252012+C40262013=C40272013
6. Jika 2x2y=1 dan yx=2, maka (x+y)2=
Lakukan sedikit manipulasi aljabar sebagai berikut,
2x2y=12(yx)xy=14xy=1xy=4
selanjutnya diperoleh,
(x+y)2=x2+y2+2xy=x2+y22xy+4xy=(yx)2+4xy=4+16=20
7. Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul angka 6 adalah ...
Tanpa mengurangi keumuman misalkan tos pertama muncul angka 6. Maka pada tos kedua sampai dengan tos keenam hanya boleh muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan jumlahnya 22. Kemungkinan yang seperti ini hanya ada tiga kasus yaitu
  • Yang muncul angka : 2, 5, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!4!=5 cara.
  • Yang muncul angka : 3, 4, 5, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!3!=20 cara.
  • Yang muncul angka : 4, 4, 4, 5, 5 yang banyaknya cara ada 5!2!×3!=10 cara.
Sehingga total ada 5+20+10=35 cara jika pada tos pertama muncul angka 6. Karena keenam tos memiliki peluang yang sama untuk muncul angka 6 berakibat total keseluruhan cara yang mungkin yaitu 6×35=210 cara.
8. Misalkan P adalah titik interior dalam daerah segitiga ABC sehingga besar PAB=10,PBA=20,PCA=30,PAC=40. Besar ABC=
Perpanjang CP,AP,BP sehingga memotong AB,BC,CA berturut - turut di titik D,E,F seperti gambar berikut :
osk matematika sma 2013 nomor 8
Mudah diperoleh bahwa APB=150,APC=110 sehingga BPC=100. Misalkan PBC=x maka PCB=80x.
Berdasarkan dalil sinus pada ADP dan BDP diperoleh
ADsin70=DPsin10 dan BDsin50=DPsin20
sehingga
ADBD=sin70sin20sin80sin10
Dengan cara serupa diperoleh pula
BEECCFFA=sin30sin(80x)sinxsin70=sin80sin40sin30sin30
Padahal berdasarkan teorema Ceva diperoleh
ADDBBEECCFFA=1
Substitusikan ketiga persamaan di atas sehingga didapat
sin20sin(80x)sin40sin10sin30sinx=1
yang ekuivalen dengan
sin20sin(80x)sin404sin20sin(80x)sin402(cos60cos20)sin(80x)sin(80x)2cos20sin(80x)sin(80x)(sin(100x)+sin(60x))sin(60x)=sin10sin30sinx=2sin10sinx=cos(x+10)cos(x10)=cos(x+10)cos(x10)=sin(80x)sin(100x)=0
Karena x terletak pada kuadran pertama maka x=60. Jadi, ABC=20+x=80.

Alternatif Penyelesaian :

Misalkan D pusat lingkaran luar ACP karena ADP=2ACP=60 maka ADP adalah segitiga sama sisi.
osk matematika sma 2013 gambar 7
CAD=DAPCAP=6040=20. Karena APB=150 maka APE=30, sehingga EPD=30. Oleh karena itu, DPB=150=APB. Hal ini berakibat APB kongruen BPD. Sehingga BDP=BAP=10. Selanjutnya kita diperoleh ADF=ADP+BDP=60+10=70. Oleh karena itu, AFD=90. Dengan kata lain, BDAC dan karena ADC adalah segitiga sama kaki dengan AD=CD maka AF=FC. Sehingga dapat disimpulkan ABC adalah segitiga sama kaki dengan AB=BC. Jadi, BAC=ACB=50 yang berarti ABC=80.
9. Sepuluh kartu ditulis dengan angka satu sampai sepuluh (setiap kartu hanya terdapat satu angka dan tidak ada dua kartu yang memiliki angka yang sama). Kartu - kartu tersebut dimasukkan kedalam kotak dan diambil satu secara acak. Kemudian sebuah dadu dilempar. Probabilitas dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah ...
Misalkan a angka dari dadu dan b angka dari kartu. Pasangan (a,b) yang menghasilkan ab bilangan prima yaitu (1,1),(1,4),(1,9),(2,2),(2,8),(3,3),(4,1),(4,4),(4,9),(5,5),(6,6) yang ada 11 kemungkinan. Sedangkan kemungkinan ruang sampel adalah 60. Oleh karena itu, peluang dari hasil kali angka pada kartu dan angka pada dadu menghasilkan bilangan kuadrat adalah 1160.
10. Enam orang siswa akan duduk pada tiga meja bundar, dimana setiap meja akan diduduki oleh minimal satu siswa. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut adalah ...
Pembagian keenam siswa pada tiga meja bundar tersebut adalah sebagai berikut :
  • Siswa diatur dalam kelompok 4,1,1. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada
    C64×C21×(41)!2!=90
  • Siswa diatur dalam kelompok 3,2,1. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada
    C63×C32×(31)!×(21)!=120
  • Siswa diatur dalam kelompok 2,2,2. Untuk kasus ini kemungkinan cara duduk ada
    C62×C423!=15
Oleh karena itu, total cara mengatur tempat duduk keenam siswa tersebut adalah 90+120+15=225 cara.
Bagian pertama pembahasan OSK Matematika SMA 2013 selesai. Tunggu postingan selanjutnya untuk bagian kedua. Jangan lupa baca juga pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013. Dan semoga yang ikut OSK tahun ini bisa lolos ke tahap selanjutnya alias OSP. Good luck!
TERIMA KASIH ATAS KUNJUNGAN SAUDARA
Judul: Soal Dan Pembahasan OSK Matematika Tahun 2013
Ditulis oleh Belajar Matematika
Rating Blog 5 dari 5
Semoga artikel ini bermanfaat bagi saudara. Jika ingin mengutip, baik itu sebagian atau keseluruhan dari isi artikel ini harap menyertakan link dofollow ke https://doyan-matematika.blogspot.com/2013/06/soal-dan-pembahasan-osk-matematika_836.html. Terima kasih sudah singgah membaca artikel ini.

0 komentar:

Posting Komentar

Panduan blog dan SEO support Jual Online Baju Wanita - Original design by Bamz | Copyright of Tempat Belajar Matematika.