Kuantor Universal (Universal Quantifier).
Kuantor
universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai
sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk
semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x
untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x
ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal
disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu
bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat
berikut ini :
“Semua gajah mempunyai belalai”
Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :
G(x)
⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat
diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul
kuantor universal sehingga menjadi
(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
Pernyataan-pernyataan
yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya,
mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai
kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata
”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan
lain-lainnya.
Misalnya jika
diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku
teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B
untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x),
berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa”
mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang
lengkap adalah:
(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.
Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :
(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.
Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal:
Perhatikan pernyataan berikut ini :
“Semua mahasiswa harus rajin belajar”
Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :
Carilah
lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah
mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis:
mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)
Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))
Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))
Contoh
”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.
Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)
(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
(∀x)(T(x) ⇒ A(x))
”Semua artis adalah cantik”.
Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).
(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))
(∀x)(A(x) ⇒ C(x))
Jika
diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat
positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk
menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10
Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi
Karena
semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi
jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8,
sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x)
x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor
bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.
Kuantor Eksistensial (Existensial Quantifier)
Kuantor
eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term–term) dalam
semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat
kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata :
“Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada
satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor
eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial
mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk
individu-individualnya. Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor
eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,”
there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.
Perhatikan kalimat berikut ini :
” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”
Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :
Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu:
“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.
Selanjutnya akan ditulis :
Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x)
Berilah kuantor eksisitensial di depannya.
(∃x) (Pelajar(x)∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))
Ubahlah menjadi suatu fungsi.
(∃x)(P(x) ∧ B(x))
Contoh
“Beberapa orang rajin beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))
(∃x)(O(x) ∧ I(x))
“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.
“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))
(∃x)(B(x) ∧ ￢K(x))
Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).
(∃x
∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x
memenuhi x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat
ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.
Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi
x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.
